Доверительный интервал: расчёт вероятности достижения ценовой цели через нормальное распределение

Доверительный интервал для цены актива — диапазон значений, в котором цена окажется через заданный период с заданной вероятностью. Пример: «С вероятностью 95% цена акции через 20 торговых дней будет находиться в диапазоне от X до Y рублей». Это не прогноз конкретной цены, а вероятностный диапазон. Интерпретация: чем шире интервал — тем выше неопределённость (выше волатильность актива или длиннее горизонт). Доверительный интервал 95% означает, что в 5% случаев цена выйдет за его границы — и именно в эти 5% случаев происходят рыночные «сюрпризы».

Формула для нормального распределения: нижняя граница = S × exp(μ×T − z × σ × √T), верхняя граница = S × exp(μ×T + z × σ × √T), где S — текущая цена, μ — среднедневная логарифмическая доходность, σ — дневная волатильность (стандартное отклонение), T — горизонт в днях, z — квантиль нормального распределения (1,645 для 90%, 1,960 для 95%, 2,576 для 99%). В упрощённом варианте при μ ≈ 0: интервал ±z × σ × √T от текущей цены в логарифмическом выражении. В Excel: используйте НОРМ.ОБР() для квантилей.

Основные тесты нормальности: тест Шапиро-Уилка (для выборок до 2000 наблюдений) и тест Колмогорова-Смирнова. В Python: `scipy.stats.shapiro()` и `scipy.stats.kstest()`. Визуальная проверка: Q-Q plot (квантиль-квантиль график) — если точки лежат на прямой, распределение близко к нормальному. Реальность для MOEX: большинство акций имеют «жирные хвосты» (excess kurtosis > 0) — экстремальные события случаются чаще, чем предсказывает нормальное распределение. Это означает, что реальные доверительные интервалы должны быть шире расчётных.

Обратная задача: дана ценовая цель T, какова вероятность её достижения за период N дней? Алгоритм: вычислите логарифмическую доходность до цели: r = ln(T/S); стандартизируйте: z = r / (σ × √N); найдите вероятность через нормальное распределение: P = Φ(z) для одностороннего теста. Пример: цена SBER 300 руб., цель 330 руб., σ = 2% в день, горизонт 20 дней. r = ln(330/300) ≈ 0,095; z = 0,095 / (0,02 × √20) ≈ 1,06; P ≈ 85,6%. Это теоретическая вероятность при нормальном распределении без учёта жирных хвостов.

«Жирные хвосты» (fat tails, leptokurtosis) означают, что экстремальные движения случаются чаще, чем предсказывает нормальное распределение. Практические последствия: реальный 95% доверительный интервал для акций MOEX шире, чем рассчитанный по нормальному распределению; события «5-сигма» (которые нормальное распределение считает практически невозможными) в реальности случаются раз в несколько лет. Коррекция: используйте распределение Стьюдента с небольшим числом степеней свободы (ν = 4–6) вместо нормального — оно лучше описывает реальные хвосты финансовых рядов.

Доверительные интервалы помогают оценить вероятность налогооблагаемого события в конкретном периоде — например, вероятность того, что позиция выйдет в прибыль до конца налогового года. Это применимо при планировании фиксации убытков для уменьшения налоговой базы: если статистически маловероятно, что убыточная позиция восстановится до конца года — её закрытие создаст налоговый вычет. НДФЛ 13% (15% свыше 5 млн руб.) применяется к прибыли; купоны ОФЗ и облигаций также облагаются НДФЛ 13%.

Доверительный интервал не является прогнозом конкретной цены — он показывает диапазон вероятных значений при условии, что прошлая волатильность сохранится. Это вероятностная оценка неопределённости, а не предсказание. Реальная цена зависит от фундаментальных факторов, новостей и рыночных настроений, которые статистический интервал не учитывает.