Monte Carlo для VaR и Expected Shortfall: численные методы для крипто-портфелей

VaR на уровне 95% отвечает на вопрос: «какой убыток не будет превышен в 95% случаев?». ES (он же CVaR) идёт дальше: он усредняет убытки именно в тех 5% худших сценариев. Для крипто-активов с тяжёлыми хвостами ES информативнее — VaR может показывать «−10%», но ES в тех же 5% худших случаев составит −35% и более. Исследование arxiv.org/abs/2507.08915 подтверждает, что стандартный VaR систематически занижает риски BTC и ETH по сравнению с ES-оценками.

Алгоритм: из исторических данных извлекают параметры распределения доходностей (среднее, волатильность, корреляции между активами) → генерируют N сценариев (обычно 10 000–100 000) случайных доходностей за горизонт → для каждого сценария считают итоговую стоимость портфеля → сортируют результаты → VaR на уровне 95% = значение на 5-м перцентиле распределения убытков. Преимущество перед аналитическим методом: Монте-Карло корректно обрабатывает нелинейные активы (опционы, DeFi-позиции) и нестандартные распределения.

После получения распределения итоговых стоимостей портфеля (N сценариев) ES считается как среднее арифметическое убытков, попавших ниже VaR-порога. Для 95%-го уровня: берёте 5% худших сценариев из N и усредняете потери. На Python это две строки с NumPy: `sorted_losses = np.sort(losses)` и `ES = sorted_losses[:int(N*0.05)].mean()`. Чем больше N — тем стабильнее оценка ES: при N=10 000 стандартная ошибка оценки ES на уровне 95% составляет порядка 0,5–1% от величины самого ES.

Нормальное распределение (GBM) занижает вероятность экстремальных движений BTC и ETH. Практические альтернативы: t-распределение Стьюдента с 3–6 степенями свободы (моделирует тяжёлые хвосты), модели с прыжками (Jump-Diffusion), GARCH-симуляция с условной волатильностью. Для мультиактивного портфеля корреляции между крипто-активами нестационарны: в кризис они резко растут, что снижает диверсификационный эффект. Использование исторических корреляций из «спокойного» периода приведёт к недооценке ES в стрессовых сценариях.

Сама оценка VaR или ES — не точечное число, а случайная величина с собственной погрешностью. Доверительный интервал для VaR на 95%-м уровне при N=10 000 итерациях составляет примерно ±0,3–0,5 перцентиля. Для ES погрешность выше, поскольку он усредняет по хвосту выборки. Увеличение N с 10 000 до 100 000 сужает интервал примерно в √10 ≈ 3,2 раза. Практический вывод: не сравнивайте VaR двух стратегий, если их доверительные интервалы перекрываются — разница статистически незначима.

VaR задаёт верхнюю границу допустимого убытка на горизонт: если однодневный VaR 95% составляет 8% портфеля, а вы готовы терять не более 4% — нужно вдвое сократить позицию или добавить хедж. ES используют для стресс-тестирования: «в худшие 5% дней я теряю в среднем X рублей — готов ли я к этому?». Доход от крипто-активов в РФ облагается НДФЛ 13–15%; убытки при расчёте налоговой базы учитываются, но автоматически не зачитываются — нужна декларация 3-НДФЛ.

Бэктест VaR проверяет не прибыльность, а точность модели риска: совпадает ли частота реальных убытков сверх VaR с теоретическим уровнем. Если VaR нарушается чаще, чем предсказано — модель недооценивает риск и требует пересмотра.